一、分数乘法

一、分数乘法

（一）分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：

8 ×5 表示求 5 个⁸ 的和是多少？

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如：8 × ³ 表示求⁸ 的³ 是多少？

（二）、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

（三）、规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。

一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。

一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。

（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法 也同样适用。

乘法交换律： a × b = b × a

乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c +

b c = （ a + b ）×c 二、分数乘法的解决问题

（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）

1、画线段图：

（1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。

2、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、 “是”、“比”的后面

3、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几

分之几是多少： 一个数× 几

 4、写数量关系式技巧：

（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”

（2） 分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=

分率对应量

（3） 分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量

三、倒数

1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互．为．倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存， 倒数不能单独存在。

（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：

（1） 、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

（2） 、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。

（3） 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

（4） 、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。

3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 因为 1×1=1；0 乘任何数都得 0， ¹ （分母不能为 0）0

二、分数除法

一、 分数除法

1、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积 除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、 规律（分数除法比较大小时）：

（1） 、当除数大于 1，商小于被除数；

（2） 、当除数小于 1（不等于 0），商大于被除数；

（3） 、当除数等于 1，商等于被除数。

4、 “[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。

二、分数除法解决问题

（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1） 分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量

（2） 分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量

2、解法：（建议：最好用方程解答）

（1） 方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。

（2） 算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量÷单位“1”的量 或：

① 求多几分之几：大数÷小数 – 1

② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数三、比和比的应用

（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

例如 15 ：10 = 15÷10=3 （比值通常用分数表示，也可2以用小数或整数表示）

 

∶	∶	∶	∶
前项	比号	后项	比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、 比和除法、分数的联系：

 

比	前 项	比号“：”	后 项	比值
除 法	被除数	除号“÷	” 除 数	商
分 数	分 子	分数线 “—”	分 母	分数值

 

7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数， 比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。

体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外），分数值不变。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。

 

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数， 这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4. 化简比：

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

 

（1） ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整

数比的方法来化简。

 

③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

 

（2） 用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。

 

如： 15∶10 = 15÷10 =

3 = 3∶2

2

5. 按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

如： 已知两个量之比为 a : b ，则设这两个量分别为

ax和bx 。

6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同， 速度比是 4：5，时间比则为 5：4）

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是2：3）

 

 

 

三、 圆

一、 认识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相

 

等．

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度

是直径的¹ 。

2

用字母表示为：d＝2r 或r ＝ ^d

2

8、轴对称图形：

 

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有 2 条对称轴的图形是： 长方形

只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;

有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。

2、圆周率实验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数

（π）。

3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai） 表示。

（1） 、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π

≈ 3.14。

（2） 、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是 3.14倍。

（3） 、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π

或 C=2π r r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r